El estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.
El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.
La derivada de una función en un punto “a” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales
La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.
. Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos
APLICACIONES DE DERIVADAS
•Derivadas En Medicina
Las derivadas en la medicina se pueden implementar a la hora de estudiar las funciones cardiovasculares de presión y velocidad de la sangre, o el estudio de la variabilidad de la presión arterial.
En efecto, una marcada tendencia actual en el estudio del estado o condición
cardiovascular de los pacientes, es la observación de las formas de las ondas de
presión arterial (p(t)) y su análisis mediante métodos matemáticos. El cálculo más
utilizado es la obtención de la derivada (dp/dt) máxima.
•Derivadas en la económia
Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la varible dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.
De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.
En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Meduiante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadas parciales respecto a x o y, manteniendo la otra fija. En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, difrenciales, etc.
•Derivadas en la biologia
En el ámbito de la Biología, se puede hablar de la velocidad de crecimiento de un cultivo de bacterias. Si, por ejemplo, tenemos que N(t) = 7t^2-t describe el crecimiento del mencionado cultivo de bacterias. Si queremos hallar la velocidad a la que crecen, entonces, debemos calcular la derivada N(t), la cual sería: N'(t) = 14t-1.
•Derivadas en la física
Para conocer la velocidad instantanea de un objeto movil. Si consideramos s(t) = 2t+t^2 como el espacio recorrido dependiendo del tiempo, entonces, la velocidad instantanea sería la variación del espacio en el tiempo, esto es, la derivada de s(t) respecto de t, s'(t), lo cual es:
v(t)= s'(t)= 2+2t;
Y si queremos saber el valor de v en t = 3 (en un instante determinado9, sería:
v(3)=s'(3)=2+2*3 =8 m/s.
Calcular la velocidad de un objeto cuando cae a través de una rampa con un determinado ángulo de inclinación.
para resolver casi TODOS los problemas de la fisica, ya que estos se modelizan con ecuaciones que en su mayoria son diferenciales. Las ondas electromagneticas, el calor, el movimiento, etc. se rigen por leyes que se pueden modelizar con estas ecuaciones, no hablemos de lo mas elemental como hallar la recta tangente a una curva, la ecuacion de la cinematica o hallar un area que son las primeras aplicaciones que vemos.En la modernidad todos los sistemas de simulacion resuelven cientos de miles de ecuaciones diferenciales, y todos los metodos computacionales usan metodos numericos que resuelven cientos de miles de integrales.
•Derivadas en la ingenieria química
En Ingeniería Química/Química/Farmacia.... tenemos el ejemplo de las distintas velocidades a las que las distintas soluciones que traspasan de una recipiente a otro.
•Derivadas en construcciones
, tratan de hallar las dimensiones de un terreno u objeto de una determinada forma geometrica (cuadrado, rectangular, circunferencia, ..) para que el gasto de material empleado para construir el objeto sea mínimo o para que el área del objeto/terreno.. sea el máximo...
Es útil en la construcción de contenedores.
En minimizar y maximizar formulas que nos ayuda a calcular las realizar de un objeto construido.
Sirve para comprender problemas muy complejos, ej.: resistencia de materiales.
miércoles, 6 de octubre de 2010
miércoles, 2 de junio de 2010
EJEMPLO DE LA CIRCUNFERENCIA
•Si el centro es (0,0) la ecuacion es : (x-0)^2 + (y-0)^2 r^2
x^2 + y^2 = r^2
• Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro (-3,2) y radio 6
h= -3 k= 2 y r=6
(x-(-3))^2 + (y-2)^2 = 6^2
(x+3)^2+ (y-2)^2 = 36
•Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro (4,-3) y radio 8
h= 4 k=-3 y r=8
(x-4)^2+(y-(-3))^2 = 8^2
(x-4)^2+ (y+3)= 64
x^2 + y^2 = r^2
• Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro (-3,2) y radio 6
h= -3 k= 2 y r=6
(x-(-3))^2 + (y-2)^2 = 6^2
(x+3)^2+ (y-2)^2 = 36
•Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro (4,-3) y radio 8
h= 4 k=-3 y r=8
(x-4)^2+(y-(-3))^2 = 8^2
(x-4)^2+ (y+3)= 64
CIRCUNFERENCIA
Cuando un conjunto de puntos satisface una o más propiedades geométricas, dicho conjunto se denomina lugar geométrico.
• Mediatriz: es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los extremos de un segmento.
•Bisectriz: de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los lados del ángulo.
•Circunferencia: es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro. La distancia común se llama radio.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
para dibujar una circunferencia sólo necesitamos conocer el centro y el radio. Para la ecuación las coordenadas del plano y la medida del radio.
c=(h,k) = centro
EJEMPLO
Realizado con foco
F=(6,3)
x^2 = 4py = (6)^2 = 4p (3)
=36 = 12 p
= 36/12 = p
3 = p
F= ( 6,3)
V=(6,0)
D=(6,-3)
F=(6,3)
x^2 = 4py = (6)^2 = 4p (3)
=36 = 12 p
= 36/12 = p
3 = p
F= ( 6,3)
V=(6,0)
D=(6,-3)
EJERCICIOS FUNCION CUADRATICA
1. y=x^2+2
D=b^2-4ac = 0^2-4(1)(2)
=0-8
=-8
Vx= -b/2a = -0/2 = o
2. y=(x-2)^2 = x^2-4x+4
D=b^2-4ac = 4^2-4(1)(4)
=16-16
=0
-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -(-4) +- raiz de 0/2 = 4/2 = 2
Vx= -b/2a= -(-4)/2 = 4/2= 2
Vy= 2^2-4(2)+4 = 4-8+4 = 0
3. y=2x^2
D= b^2-4ac = 0^2-4(2)(0)
=0^2-0 =0
-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -0+ raiz de 0/4 = -0/4 = 0
Vx= -b/2a = -0/4 = 0
Vy= 2(0)^2 = 0
4. y= x^2+2
D=b^2-4ac = 0^2-4(-1)(2)
=0^2-(-8)=8
-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -0+- raiz de 8/2 = -0+2,82/-2 = -1,41
=-0-2,82/-2 = 1,41
Vx= -b/2a= -0/-2 = 0
5. y=-(x+2) = -x^2-4x-4
D=b^2-4ac = -4^2-4(-1)(-4) = 16-16 = 0
-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -(-4)+- raiz de 0/-2 = 4/-2 = -2
Vx= -b/2a = -(-4)/-2 = 4/-2 =-2
Vy= -(-2)^2-4(-2)-4 = -4-(-8)-4=0
6. y=x^2+4
D= b^2-4ac = 0^2-4(1)(4)
=0^2-16
= -16
Vx= -b/2a = -0/2 = 0
7. y=x^2-1
D= b^2-4ac = 0^2-4(1)(-1)
=0-(-4)
= 4
-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -0+- raiz de 4/2 = -0+2/2 = 2/2 = 1
= -0-2/-2= -2/2 = -1
Vx= -b/2a = -0/2 = 0
D=b^2-4ac = 0^2-4(1)(2)
=0-8
=-8
Vx= -b/2a = -0/2 = o
2. y=(x-2)^2 = x^2-4x+4
D=b^2-4ac = 4^2-4(1)(4)
=16-16
=0
-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -(-4) +- raiz de 0/2 = 4/2 = 2
Vx= -b/2a= -(-4)/2 = 4/2= 2
Vy= 2^2-4(2)+4 = 4-8+4 = 0
3. y=2x^2
D= b^2-4ac = 0^2-4(2)(0)
=0^2-0 =0
-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -0+ raiz de 0/4 = -0/4 = 0
Vx= -b/2a = -0/4 = 0
Vy= 2(0)^2 = 0
4. y= x^2+2
D=b^2-4ac = 0^2-4(-1)(2)
=0^2-(-8)=8
-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -0+- raiz de 8/2 = -0+2,82/-2 = -1,41
=-0-2,82/-2 = 1,41
Vx= -b/2a= -0/-2 = 0
5. y=-(x+2) = -x^2-4x-4
D=b^2-4ac = -4^2-4(-1)(-4) = 16-16 = 0
-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -(-4)+- raiz de 0/-2 = 4/-2 = -2
Vx= -b/2a = -(-4)/-2 = 4/-2 =-2
Vy= -(-2)^2-4(-2)-4 = -4-(-8)-4=0
6. y=x^2+4
D= b^2-4ac = 0^2-4(1)(4)
=0^2-16
= -16
Vx= -b/2a = -0/2 = 0
7. y=x^2-1
D= b^2-4ac = 0^2-4(1)(-1)
=0-(-4)
= 4
-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -0+- raiz de 4/2 = -0+2/2 = 2/2 = 1
= -0-2/-2= -2/2 = -1
Vx= -b/2a = -0/2 = 0
PARÁBOLA
Se llama parábola al lugar geométrico que depende de un punto fijo llamaado foco y una linea recta llamada directriz.
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de parábola y se simboliza con p.
Las parábolas aparecen en diferentes situacions de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe a la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parábolica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal "x" la altura "y" alcanzada por la pelota.
Vértice: punto en que concurren los dos lados de un ángulo.
Es el punto medio entre el foco y la directriz.
Punto de una curva, en el que la curvatura tiene un máximo o un mínimo.
Foco: punto fijo que determina la generación de una parábola.
Directiz: linea recta que determina las condiciones de la generación de una parábola.
El foco se encuentra dentro de la parábola, el vértice en la parábola y la directriz fuera de la parábola.
FUNCIÓN CUADRATICA
Una funcion cuadratica es aquella que puede escribirse de la forma ax^2+bx+c.
Si representamos los puntos de una función cuadratica obtendremos una curva llamada parábola.
VALORES
•El "a" nos muestra hacia donde abre la parábola, si es positiva abre hacia arriba, y si esta es negativa abre hacia abajo.
•El "b" nos dice en que cuadrante de el plano cartesiano queda la parábola.
•El "c" es el desplazamiento de la parábola en en eje y.
•Si el "a" es 0 (cero) da una linea recta horizontal.
•Siempre que sólo dos términos el vértice es "c"
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de parábola y se simboliza con p.
Las parábolas aparecen en diferentes situacions de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe a la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parábolica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal "x" la altura "y" alcanzada por la pelota.
Vértice: punto en que concurren los dos lados de un ángulo.
Es el punto medio entre el foco y la directriz.
Punto de una curva, en el que la curvatura tiene un máximo o un mínimo.
Foco: punto fijo que determina la generación de una parábola.
Directiz: linea recta que determina las condiciones de la generación de una parábola.
El foco se encuentra dentro de la parábola, el vértice en la parábola y la directriz fuera de la parábola.
FUNCIÓN CUADRATICA
Una funcion cuadratica es aquella que puede escribirse de la forma ax^2+bx+c.
Si representamos los puntos de una función cuadratica obtendremos una curva llamada parábola.
VALORES
•El "a" nos muestra hacia donde abre la parábola, si es positiva abre hacia arriba, y si esta es negativa abre hacia abajo.
•El "b" nos dice en que cuadrante de el plano cartesiano queda la parábola.
•El "c" es el desplazamiento de la parábola en en eje y.
•Si el "a" es 0 (cero) da una linea recta horizontal.
•Siempre que sólo dos términos el vértice es "c"
DECRETO 1290 ABRIL 16 DE 2009
La evalucaión debe sustentar cada una de las potencialidades de los estudiantes teniendo en cuenta los aspectos ser, saber y saber hacer y comprometiendose a la participacion de la comunidad educativa (estudiantes, docentes, padres de familia) con el fin de proyectar intereses, propuestas, metas, logros y estrategias.
En la evalucaión los estudiantes deben autoreflexionar y autoevaluarse sobre su aprendizaje, este debe valorar las diferencias q existen en cada uno, sus ritmos, estilos de aprendizaje, habilidades, capacidades individuales y colectivas.
Se evaluara de forma escrita, oral, gráfica, práctica entre otros.
¿ Qué es la calificación ?
Es la valoración cuantitaiva y cualitativa de los procesos de aprendizaje en las competencias cognitivas, procedimentales y actitudinales; el docente evaluara cada indicador con un mínimo de dos técnicas evaluativas dentro de un rango de 0.0 (nota mínima) y 5.0 (nota máxima)
La nota definitiva de cada periodo se obtiene de acuerdo con los siguientes valores: cognitivos 30% , procedimental 40% y actitudinal 30% dando como resultado la siguiente escala valorativa :
4.6 a 5.0 desempeño superior
4.0 a 4.5 desempeño alto
2.7 a 3.9 desempeño básico
0.0 a 2.6 desempeño bajo
En la evalucaión los estudiantes deben autoreflexionar y autoevaluarse sobre su aprendizaje, este debe valorar las diferencias q existen en cada uno, sus ritmos, estilos de aprendizaje, habilidades, capacidades individuales y colectivas.
Se evaluara de forma escrita, oral, gráfica, práctica entre otros.
¿ Qué es la calificación ?
Es la valoración cuantitaiva y cualitativa de los procesos de aprendizaje en las competencias cognitivas, procedimentales y actitudinales; el docente evaluara cada indicador con un mínimo de dos técnicas evaluativas dentro de un rango de 0.0 (nota mínima) y 5.0 (nota máxima)
La nota definitiva de cada periodo se obtiene de acuerdo con los siguientes valores: cognitivos 30% , procedimental 40% y actitudinal 30% dando como resultado la siguiente escala valorativa :
4.6 a 5.0 desempeño superior
4.0 a 4.5 desempeño alto
2.7 a 3.9 desempeño básico
0.0 a 2.6 desempeño bajo
miércoles, 17 de marzo de 2010
VALOR ABSOLUTO
PROPIEDADES.
como observaremos a continuación, en todas las propiedades del valor absoluto, este siempre tendrá un valor mayor que él y otro menor.
= -b < a < b
En esta propiedad, (a) equivale a cualquier valor mayor que (–b) y menor que (b).
Ej: x - 3 < 7
= -7 < x – 3 < 7
Ej 2: x2 + 7x + 12 < 15
= -15 < x2 + 7x +12 < 15.
= -b ≤ a ≤ b
Esta propiedad tiene las mismas características de la propiedad anterior, solo que en este caso, (a) debe ser un valor mayor o igual a (-b) y menor o igual a (b).
Ej: x2 + 36 ≤ 18
= -18 ≤ x2 + 36 ≤ 18
Ej 2: x2 – 5x -2 ≤ 9
= -9 ≤ x2 – 5x -2 ≤ 9.
=b > a > -b.
En esta propiedad, (a) debe ser un valor menor que (b) y mayor que (-b). Según esto podemos inferir que la primera propiedad y esta tienen las mismas características, salvo que en este caso enunciamos el resultado invirtiendo el orden de los términos. Entonces:
(-b <> a > -b).
Ej: x2 - 4 > 7
= 7 > x2 – 4 > -7
Ej 2: a2 – 7a - 40 > 12
= 12 > a2 – 7a – 40 > - 12
= b ≥ a ≥ -b
En esta propiedad, (a) equivale a cualquier valor menor o igual que (b) y mayor o igual que (-b). según esto podemos inferir nuevamente que la segunda propiedad y esta son iguales, salvo que esta enuncia su resultado con sus términos invertidos. Entonces:
(-b ≤ a ≤ b) = (b ≥ a ≥ -b)
Ej: x2 - 9 ≥5
= 5 ≥ x2 – 9 ≥ - 5
Ej 2: x2 + 13 - 10 ≥ 16
= 16 ≥ x2 +13 -10 ≥ -16
como observaremos a continuación, en todas las propiedades del valor absoluto, este siempre tendrá un valor mayor que él y otro menor.
= -b < a < b
En esta propiedad, (a) equivale a cualquier valor mayor que (–b) y menor que (b).
Ej: x - 3 < 7
= -7 < x – 3 < 7
Ej 2: x2 + 7x + 12 < 15
= -15 < x2 + 7x +12 < 15.
= -b ≤ a ≤ b
Esta propiedad tiene las mismas características de la propiedad anterior, solo que en este caso, (a) debe ser un valor mayor o igual a (-b) y menor o igual a (b).
Ej: x2 + 36 ≤ 18
= -18 ≤ x2 + 36 ≤ 18
Ej 2: x2 – 5x -2 ≤ 9
= -9 ≤ x2 – 5x -2 ≤ 9.
=b > a > -b.
En esta propiedad, (a) debe ser un valor menor que (b) y mayor que (-b). Según esto podemos inferir que la primera propiedad y esta tienen las mismas características, salvo que en este caso enunciamos el resultado invirtiendo el orden de los términos. Entonces:
(-b <> a > -b).
Ej: x2 - 4 > 7
= 7 > x2 – 4 > -7
Ej 2: a2 – 7a - 40 > 12
= 12 > a2 – 7a – 40 > - 12
= b ≥ a ≥ -b
En esta propiedad, (a) equivale a cualquier valor menor o igual que (b) y mayor o igual que (-b). según esto podemos inferir nuevamente que la segunda propiedad y esta son iguales, salvo que esta enuncia su resultado con sus términos invertidos. Entonces:
(-b ≤ a ≤ b) = (b ≥ a ≥ -b)
Ej: x2 - 9 ≥5
= 5 ≥ x2 – 9 ≥ - 5
Ej 2: x2 + 13 - 10 ≥ 16
= 16 ≥ x2 +13 -10 ≥ -16
domingo, 7 de marzo de 2010
EJERCICIOS DE REEMPLAZO PARA EL 8 DE MARZO
1. 10-5x/2>=0
20-5x/2 >=
20/2 >= 5x/2
20(2)/2 >=5x
20/5>=x
4>=x
Intervalo: [4, inf)
4. (x-1)(x+2)<(x+1)(x-3)
x^2+2x-x-2 < x^2-3x+x-3
x^2+x-2 < x^2-2x-3
x-2+2x+3<0
3x+1<0
3x<1
x<-1/3
x<-0,3
Intervalo: (-inf, -0,3)
17. 1/x-x/2x-1 >=1
2x-1-(x)(x)/(x)(2x-1) >=1
2x-1-x^2/2x^2-1x >=1
2x-1-x^2 >= 2x^2-1x
2x-1-x^2-2x^2-1X >=0
2x-3x^2-1x-1 >= 0
x-3x^2-1 >= 0
3x^2+x-1 >=0
a b c
x= -1+- raiz de 1^2-4(-3)(-1)
-1+- raiz de 1-12/-6
-1+- raiz de -11/-6
NO TIENE SOLUCIÒN
20. 2-x/x-3<=-2/x
x(2-x) <=-2(x-3)
2x-x^2<=-2x+6
2x-x^2+2x-6<=0
-x^2+4x-6<=0
0<=x^2-4x+6
x= -4+-raiz de 4^2-4(1)(6)/2(1)
-4+- raiz de 16+24/2
-4+- raiz de 40/2
-4+- 6,3/2
1. -4+6,3/2
2,3/2
1,15
2. -4-6,3/2
-10,3/2
-5,15
Intervalos: (-inf, -5,15] u [1,15 , inf)
21. 2x/1-2x <=3-x/x
(2x)(x) <=(1-2x)(3-x)
2x^2 <= 3-x-6x+2x^2
0<=3-x-6x
0<=3-7x
-3<=-7x
-3/-7<=x
0,4<=x
Intervalo: [0,4 , inf)
22. x^3/x^2+3x-4 >=x
x^3 >=(x^2+3x-4)(x)
x^3 >=x^3+3x^2-4x
0>=3x^2-4x
x= -4+- raiz de 4^2-4(3)(0)/2(3)
-4+- raiz de 16-0/6
-4+- raiz de 16/6
1. -4+4/6
0
2. -4-4/6
8/6
-1,3
Intervalo: [-1,3 , 0]
26. -2/3+x >=x/4-x
(-2)(4-x) >= (x)(3+x)
-8+2x >= 3x+x^2
0>=3x+x^2+8-2x
0>=x+x^2+8
0>=x^2+x+8
x= -1+- raiz de 1^2-4(1)(8)/2(1)
-1+- raiz de 1-32/2
-1+- raiz de -31/2
NO TIENE SOLUCIÓN
27. x/x-1 >= 5/4+2x
(x)(4+2x) >= (5)(x-1)
4x+2x^2 >= 5x-5
4x+2x^2-5x+5>=0
x+2x^2+5>=0
2x^2+x+5 >=0
x= -1+- raiz de 1^2-4(2)(5)/2(2)
-1+- raiz de 1-40/4
-1+- raiz de -39/4
NO TIENE SOLUCIÓN
29. x-2/x+2 < 1+x/x-1
(x-2)(x-1)<(1+x)(x+2)
x^2+x-2x+2
-3x<0
-x-3x<0
-4x<0
x<1/-4
x<-0,25
Intervalo: (-inf , -0,25)
33. 3+x <= x^2-1/x-1
(3+x)(x-1)<=(x^2-1)
3x-3+x^2-x<= x^2-1
2x-3+x^2<= x^2-1
2x-3+1<=0
2x-2<=0
2x<=2
x<=2/2
x<=1
Intervalo: (-inf , 1]
20-5x/2 >=
20/2 >= 5x/2
20(2)/2 >=5x
20/5>=x
4>=x
Intervalo: [4, inf)
4. (x-1)(x+2)<(x+1)(x-3)
x^2+2x-x-2 < x^2-3x+x-3
x^2+x-2 < x^2-2x-3
x-2+2x+3<0
3x+1<0
3x<1
x<-1/3
x<-0,3
Intervalo: (-inf, -0,3)
17. 1/x-x/2x-1 >=1
2x-1-(x)(x)/(x)(2x-1) >=1
2x-1-x^2/2x^2-1x >=1
2x-1-x^2 >= 2x^2-1x
2x-1-x^2-2x^2-1X >=0
2x-3x^2-1x-1 >= 0
x-3x^2-1 >= 0
3x^2+x-1 >=0
a b c
x= -1+- raiz de 1^2-4(-3)(-1)
-1+- raiz de 1-12/-6
-1+- raiz de -11/-6
NO TIENE SOLUCIÒN
20. 2-x/x-3<=-2/x
x(2-x) <=-2(x-3)
2x-x^2<=-2x+6
2x-x^2+2x-6<=0
-x^2+4x-6<=0
0<=x^2-4x+6
x= -4+-raiz de 4^2-4(1)(6)/2(1)
-4+- raiz de 16+24/2
-4+- raiz de 40/2
-4+- 6,3/2
1. -4+6,3/2
2,3/2
1,15
2. -4-6,3/2
-10,3/2
-5,15
Intervalos: (-inf, -5,15] u [1,15 , inf)
21. 2x/1-2x <=3-x/x
(2x)(x) <=(1-2x)(3-x)
2x^2 <= 3-x-6x+2x^2
0<=3-x-6x
0<=3-7x
-3<=-7x
-3/-7<=x
0,4<=x
Intervalo: [0,4 , inf)
22. x^3/x^2+3x-4 >=x
x^3 >=(x^2+3x-4)(x)
x^3 >=x^3+3x^2-4x
0>=3x^2-4x
x= -4+- raiz de 4^2-4(3)(0)/2(3)
-4+- raiz de 16-0/6
-4+- raiz de 16/6
1. -4+4/6
0
2. -4-4/6
8/6
-1,3
Intervalo: [-1,3 , 0]
26. -2/3+x >=x/4-x
(-2)(4-x) >= (x)(3+x)
-8+2x >= 3x+x^2
0>=3x+x^2+8-2x
0>=x+x^2+8
0>=x^2+x+8
x= -1+- raiz de 1^2-4(1)(8)/2(1)
-1+- raiz de 1-32/2
-1+- raiz de -31/2
NO TIENE SOLUCIÓN
27. x/x-1 >= 5/4+2x
(x)(4+2x) >= (5)(x-1)
4x+2x^2 >= 5x-5
4x+2x^2-5x+5>=0
x+2x^2+5>=0
2x^2+x+5 >=0
x= -1+- raiz de 1^2-4(2)(5)/2(2)
-1+- raiz de 1-40/4
-1+- raiz de -39/4
NO TIENE SOLUCIÓN
29. x-2/x+2 < 1+x/x-1
(x-2)(x-1)<(1+x)(x+2)
x^2+x-2x+2
-3x<0
-x-3x<0
-4x<0
x<1/-4
x<-0,25
Intervalo: (-inf , -0,25)
33. 3+x <= x^2-1/x-1
(3+x)(x-1)<=(x^2-1)
3x-3+x^2-x<= x^2-1
2x-3+x^2<= x^2-1
2x-3+1<=0
2x-2<=0
2x<=2
x<=2/2
x<=1
Intervalo: (-inf , 1]
DESIGUALDADES
En matemáticas una desigualdad se refiere a la relacion de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones.
En la desigualdad los términos esta relacionados por un símbolo de mayor que(>), menor que (<), y otros dos derivados de estos dos símbolos, mayor o igual que (>=) y menor e igual que (<=).
Pasos para resolver una desigualdad:
*Identificar la variable
*Analizar si la desigualdad es mayor, menor, maro igual o menor igual.
*Separar los términos que posean las variables*
Luego de encontrar el valor de la incognita, comprobar
*Graficar
*Sacar el intervalo
Ejemplo:
*8x+5/10x-7 >=4x-3/5x+7
(8x+5)(5x+7) >= (10x-7)(4x-3)
40x^2+56x+25x+35 >= 40x^2-30x-28x+24
81x+35>=-58x+21
81x+58x>=21-35
139>=-14
x>=-14/139
x>=-0,10
Intervalo: [-0,10 ,inf)
*8x-(2x+1)<=3x-10
8x-2x-1<=3x-10
8x-2x-3x<=-10+1
8x-5x<=-9
3x<=-9
x<=-9/3
x<=-3
Intervalo: (-inf, -3]
DESIGUALDADES CUADRATICAS
x^2+7x+12>0 Restriccion: x<>0
Caracteristicas de las restricciones
1. Que no sea cero
2. Se separan por parejas, se hacen de manera individual cada término, teniendo en cuanta el signo
Factorizar: (x+3)(x+4)
Pareja 1: (x+3)>0
(x+4)>0
Pareja 2: (x+3)<0
(x+4)<0
Ejemplo:
x^2-5x+6>0 Restriccion: x<>2 , x<>3, x<>0
Pareja 1: (x-2)>0
(x-3)>0
Pareja 2: (x-2)<0
(x-3)<0
DESIGUALDADES CUADRATICAS
9x^2<25
9x^2-25<0
(3x+5)(3x-5)<0
1. 3x+5<0
x<5/3
x<1,6
2. 3x-5<0
x<-5/3
x<-1,6
DISCRIMINANTES
Se utiliza la formula b^2-4ac
Si la discriminante es mayor que cero encontraremos 2 soluciones
Si la discriminante es igual a cero, tiene una solucion
Si la discriminante en menor que cero. no tiene solucion.
Ejemplo: (x+5)^2 <= (x+4)^2+(x-3)^2
(x+5)^2-(x+4)^2-(x-3)^2<=0
(x^2+10x+25)-(x^2+8x+16)-(x^2-6x+9)<=0
10x+25-8x-16-x^2+6x-9<=0
8x-x^2<=0
Formula: -b+- raiz de b^2-4ac/2a
-8+- raiz de 8^2-4(-1)(0)
-8+- raiz de 64/-2
-8+-8/-2
x1: -8+8/-2
x1: 0
x2:-8-8/-2
x2: 8
Intervalos: (-inf, 0] u [8, inf)
En la desigualdad los términos esta relacionados por un símbolo de mayor que(>), menor que (<), y otros dos derivados de estos dos símbolos, mayor o igual que (>=) y menor e igual que (<=).
Pasos para resolver una desigualdad:
*Identificar la variable
*Analizar si la desigualdad es mayor, menor, maro igual o menor igual.
*Separar los términos que posean las variables*
Luego de encontrar el valor de la incognita, comprobar
*Graficar
*Sacar el intervalo
Ejemplo:
*8x+5/10x-7 >=4x-3/5x+7
(8x+5)(5x+7) >= (10x-7)(4x-3)
40x^2+56x+25x+35 >= 40x^2-30x-28x+24
81x+35>=-58x+21
81x+58x>=21-35
139>=-14
x>=-14/139
x>=-0,10
Intervalo: [-0,10 ,inf)
*8x-(2x+1)<=3x-10
8x-2x-1<=3x-10
8x-2x-3x<=-10+1
8x-5x<=-9
3x<=-9
x<=-9/3
x<=-3
Intervalo: (-inf, -3]
DESIGUALDADES CUADRATICAS
x^2+7x+12>0 Restriccion: x<>0
Caracteristicas de las restricciones
1. Que no sea cero
2. Se separan por parejas, se hacen de manera individual cada término, teniendo en cuanta el signo
Factorizar: (x+3)(x+4)
Pareja 1: (x+3)>0
(x+4)>0
Pareja 2: (x+3)<0
(x+4)<0
Ejemplo:
x^2-5x+6>0 Restriccion: x<>2 , x<>3, x<>0
Pareja 1: (x-2)>0
(x-3)>0
Pareja 2: (x-2)<0
(x-3)<0
DESIGUALDADES CUADRATICAS
9x^2<25
9x^2-25<0
(3x+5)(3x-5)<0
1. 3x+5<0
x<5/3
x<1,6
2. 3x-5<0
x<-5/3
x<-1,6
DISCRIMINANTES
Se utiliza la formula b^2-4ac
Si la discriminante es mayor que cero encontraremos 2 soluciones
Si la discriminante es igual a cero, tiene una solucion
Si la discriminante en menor que cero. no tiene solucion.
Ejemplo: (x+5)^2 <= (x+4)^2+(x-3)^2
(x+5)^2-(x+4)^2-(x-3)^2<=0
(x^2+10x+25)-(x^2+8x+16)-(x^2-6x+9)<=0
10x+25-8x-16-x^2+6x-9<=0
8x-x^2<=0
Formula: -b+- raiz de b^2-4ac/2a
-8+- raiz de 8^2-4(-1)(0)
-8+- raiz de 64/-2
-8+-8/-2
x1: -8+8/-2
x1: 0
x2:-8-8/-2
x2: 8
Intervalos: (-inf, 0] u [8, inf)
ALGEBRA
El álgebra es una rama de las matemáticas que estudia la forma de resolverlas ecuaciones; las estructuras, las relaciones y las cantidades.
Ejercicio:
-13x-7 = 3x+233
-13x-3x=233+7
-16x = 240
x= 240/-16
x=-15
Prueba:
-13(-15)-7 = 3(-15)+233
195-7 = -45+233
188= 188
Ejercicos vistos en clase:
*Halle un número cuya mitad, tercera y cuarta sumen 39
Sea x el #
x/2 + x/3 + x/4= 39
6x+4x+3x/12 = 39
13x = 39 (12)
x = 36
Prueba:
39/2+36/3+36/4 = 39
18+12+9 = 39
*En una granja hay conejos y gallinas, contandose en total 39 cabezas y 126 patas ¿cuantos animales hay de cada uno?
Sea y gallinas
Sea x conejos
1. x+y= 39 cabezas
2y+4x=126
2. 2y+4 (39-y) =126
2y+156-4y=126
-2y=126-156
y=-30/-2
y=15
3. x=39-15
x=24
Ejercicio:
-13x-7 = 3x+233
-13x-3x=233+7
-16x = 240
x= 240/-16
x=-15
Prueba:
-13(-15)-7 = 3(-15)+233
195-7 = -45+233
188= 188
Ejercicos vistos en clase:
*Halle un número cuya mitad, tercera y cuarta sumen 39
Sea x el #
x/2 + x/3 + x/4= 39
6x+4x+3x/12 = 39
13x = 39 (12)
x = 36
Prueba:
39/2+36/3+36/4 = 39
18+12+9 = 39
*En una granja hay conejos y gallinas, contandose en total 39 cabezas y 126 patas ¿cuantos animales hay de cada uno?
Sea y gallinas
Sea x conejos
1. x+y= 39 cabezas
2y+4x=126
2. 2y+4 (39-y) =126
2y+156-4y=126
-2y=126-156
y=-30/-2
y=15
3. x=39-15
x=24
domingo, 14 de febrero de 2010
FRACCIONARIOS
SUMA DE FRACCIONARIOS
Hay dos casos: fracciones q tienen el mismo denominador y fracciones q tienen el distinto denominador.
-Primer caso: la suma de dos o mas fraccionarios q tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay q sumar los numeradores y se deja el denominador común:
4/5 + 2/5 = 6/5
-Segundo caso: la suma de dos o más fraccionarios con distinto denominador es un poco menos sencilla:
1. Se halla el minimo común múltiplo de los denominadores
2. Se calcula en numerador con la fórmula : numerador antiguo * denominador común y dividido por denominador antiguo.
3. Se procede con el primer caso.
RESTA DE FRACCIONARIOS
-Primer caso: la resta de dos o más fraccionarios q tienen el mismo denominador es muy sencilla, se restan los numeradores y se deja el denominador común :
7/9 - 2/9 = 5/9
-Segundo caso: distinto denominador
1. Se halla en minimo común múltiplo de los denominadores y se hace exactamente lo mismo q en la suma.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS
-Para multiplicar dos o más fraccionarios se multiplican en "línea". Esto es numerador por numerador y denominador por denominador:
3/2 * 7/4 = 3*7/2*4 = 21/8
DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS
-Para dividir dos o más fracciones, se multiplican en "cruz" osea, numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y tenemos el numerador ; y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y tenemos el denominador.
4/5 : 3/9 = 4*9/5*3 = 36/15
Hay dos casos: fracciones q tienen el mismo denominador y fracciones q tienen el distinto denominador.
-Primer caso: la suma de dos o mas fraccionarios q tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay q sumar los numeradores y se deja el denominador común:
4/5 + 2/5 = 6/5
-Segundo caso: la suma de dos o más fraccionarios con distinto denominador es un poco menos sencilla:
1. Se halla el minimo común múltiplo de los denominadores
2. Se calcula en numerador con la fórmula : numerador antiguo * denominador común y dividido por denominador antiguo.
3. Se procede con el primer caso.
RESTA DE FRACCIONARIOS
-Primer caso: la resta de dos o más fraccionarios q tienen el mismo denominador es muy sencilla, se restan los numeradores y se deja el denominador común :
7/9 - 2/9 = 5/9
-Segundo caso: distinto denominador
1. Se halla en minimo común múltiplo de los denominadores y se hace exactamente lo mismo q en la suma.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS
-Para multiplicar dos o más fraccionarios se multiplican en "línea". Esto es numerador por numerador y denominador por denominador:
3/2 * 7/4 = 3*7/2*4 = 21/8
DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS
-Para dividir dos o más fracciones, se multiplican en "cruz" osea, numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y tenemos el numerador ; y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y tenemos el denominador.
4/5 : 3/9 = 4*9/5*3 = 36/15
RADICACION
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
-Raiz de raiz: para calcular la raiz de una raiz se multiplican los indices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
-Raíz de un producto: la raíz cuadrada de un producto A * B es igual al producto de la raíz cuadrada de "A" por raíz cuadrada de "B"
-Raíz de un cociente: el cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
SUMA Y RESTA DE RAÍCES CON IGUAL INDICE
-Por no ser la radicacion distributiva con respecto a la suma o resta, no se puede aplicar la propiedad contraria, la Asociativa, por consiguiente la suma de raíz de 3 más raiz de 12 no es igual a raíz de 15.
PRODUCTO Y COCIENTE DE RAÍCES CON IGUAL INDICE
-La radicación si es distributiva respecto a la multiplicación o división y se puede aplicar la propiedad asociativa.
-Raiz de raiz: para calcular la raiz de una raiz se multiplican los indices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
-Raíz de un producto: la raíz cuadrada de un producto A * B es igual al producto de la raíz cuadrada de "A" por raíz cuadrada de "B"
-Raíz de un cociente: el cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
SUMA Y RESTA DE RAÍCES CON IGUAL INDICE
-Por no ser la radicacion distributiva con respecto a la suma o resta, no se puede aplicar la propiedad contraria, la Asociativa, por consiguiente la suma de raíz de 3 más raiz de 12 no es igual a raíz de 15.
PRODUCTO Y COCIENTE DE RAÍCES CON IGUAL INDICE
-La radicación si es distributiva respecto a la multiplicación o división y se puede aplicar la propiedad asociativa.
jueves, 11 de febrero de 2010
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad son reglas q nos permiten averiguar con rapidez si un número es divisible por otro; es decir, si el más grande es múltiplo del más pequeño o si el más pequeño es divisor del mas grande.
-Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si es un número par: 4, 8, 10, 58, 782, 45.566.
-Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3:
9 es múltiplo de 3.
15 es múltiplo de 3: 1+5=6 y 6 es múltiplo de 3.
48 es múltiplo de 3: 4+8=12 y 12 es múltiplo de 3.
351 es múltiplo de 3: 3+5+1= 9 y 9 es múltiplo de 3.
-Divisibilidad por 4: un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4:
100 es múltiplo de 4, porq acaba en 00.
324 es múltiplo de 4 porq 24 es múltiplo de 4.
-Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 cuando acaba en cero o en 5.
35 es múltiplo de 5, porq acaba en 5
330 es múltiplo de 5 porq acaba en cero.
-Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo; es decir, tiene q ser par, y la suma de sus cifras múltiplo de 3.
96 es múltiplo de 6, ya q lo es de 2 y de 3.
432 es múltiplo de 6, ya q lo es de 2 y de 3.
-Divisibilidad por 7: para saber si un número es divisible por 7, se multiplica por 2 la cifra de las unidades y el resultado se resta al número q forman las cifras restantes.
-Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si es un número par: 4, 8, 10, 58, 782, 45.566.
-Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3:
9 es múltiplo de 3.
15 es múltiplo de 3: 1+5=6 y 6 es múltiplo de 3.
48 es múltiplo de 3: 4+8=12 y 12 es múltiplo de 3.
351 es múltiplo de 3: 3+5+1= 9 y 9 es múltiplo de 3.
-Divisibilidad por 4: un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4:
100 es múltiplo de 4, porq acaba en 00.
324 es múltiplo de 4 porq 24 es múltiplo de 4.
-Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 cuando acaba en cero o en 5.
35 es múltiplo de 5, porq acaba en 5
330 es múltiplo de 5 porq acaba en cero.
-Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo; es decir, tiene q ser par, y la suma de sus cifras múltiplo de 3.
96 es múltiplo de 6, ya q lo es de 2 y de 3.
432 es múltiplo de 6, ya q lo es de 2 y de 3.
-Divisibilidad por 7: para saber si un número es divisible por 7, se multiplica por 2 la cifra de las unidades y el resultado se resta al número q forman las cifras restantes.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
-Producto de potencias de igual base:
para multiplicar potencias de igual base, se coloca la misma base y se suman los exponentes:
4^3 * 4^5 = (4*4*4) (4*4*4*4*4) = 4^8 = 4^3+5 (Los exponentes se suman)
-División de potencias de igual base:
Cuando se trata de dividir potencias de igual base los exponentes se restan:
4^5 : 4^3 = (4*4*4*4*4) : (4*4*4) = 4^2 = 4^5-3
-Potencia de un producto:
Si queremos realizar la siguiente operacion (2*3)^3 , observamos que (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 2^3 * 3^3
Para calcular el resultado podemos multiplicar (2*3) y elevar el producto al cubo : 2*3 ^3 = 6^3= 216.
Decimos entonces q la potencia de un producto es igual al producto de la potencia.
-Potencia de un cociente:
De manera similar a la potencia de un producto, se deduce que la potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor. Elevamos el dividendo y el divisor a dicha potencia y dividimos:
(6:3)^2 = 6^2 : 3^2 = 4 Porque (6 : 3)^2 = 2^2 = 4
-Tengamos en cuenta que la potenciación es Distributiva Respecto A La Multiplicación Y A La División:
(6:3)^2 = 6^2 : 3^2 = 4 porque (6:3)^2 = 2^2 = 4
(3*2)^2 = 3^2 * 2^2 = 9*4 = 36 porque (3*2)^2 = 6^2 = 36
Sin embargo, la potenciacion NO Es Distributiva Respecto A La Suma Y A La Resta:
(6+3)^2 ? 6^2 + 3^2 (El resultado de ambas operaciones no sera el mismo)
(10-6)^2 ? 10^2 - 6^2 (El resultado de ambas operaciones no será el mismo)
-Potencia de una potencia:
Al elevar una potencia a otra potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes:
(2^2) ^2 = 2^2 *^ 2 = 2^6 porq : 2^2 * 2^2= 2*2*2*2*2*2 = 2^6
para multiplicar potencias de igual base, se coloca la misma base y se suman los exponentes:
4^3 * 4^5 = (4*4*4) (4*4*4*4*4) = 4^8 = 4^3+5 (Los exponentes se suman)
-División de potencias de igual base:
Cuando se trata de dividir potencias de igual base los exponentes se restan:
4^5 : 4^3 = (4*4*4*4*4) : (4*4*4) = 4^2 = 4^5-3
-Potencia de un producto:
Si queremos realizar la siguiente operacion (2*3)^3 , observamos que (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 2^3 * 3^3
Para calcular el resultado podemos multiplicar (2*3) y elevar el producto al cubo : 2*3 ^3 = 6^3= 216.
Decimos entonces q la potencia de un producto es igual al producto de la potencia.
-Potencia de un cociente:
De manera similar a la potencia de un producto, se deduce que la potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor. Elevamos el dividendo y el divisor a dicha potencia y dividimos:
(6:3)^2 = 6^2 : 3^2 = 4 Porque (6 : 3)^2 = 2^2 = 4
-Tengamos en cuenta que la potenciación es Distributiva Respecto A La Multiplicación Y A La División:
(6:3)^2 = 6^2 : 3^2 = 4 porque (6:3)^2 = 2^2 = 4
(3*2)^2 = 3^2 * 2^2 = 9*4 = 36 porque (3*2)^2 = 6^2 = 36
Sin embargo, la potenciacion NO Es Distributiva Respecto A La Suma Y A La Resta:
(6+3)^2 ? 6^2 + 3^2 (El resultado de ambas operaciones no sera el mismo)
(10-6)^2 ? 10^2 - 6^2 (El resultado de ambas operaciones no será el mismo)
-Potencia de una potencia:
Al elevar una potencia a otra potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes:
(2^2) ^2 = 2^2 *^ 2 = 2^6 porq : 2^2 * 2^2= 2*2*2*2*2*2 = 2^6
martes, 9 de febrero de 2010
CONSULTA GUZMAN Y POLYA
MIGUEL DE GUZMÁN
Los problemas que desarrollan las competencias matemáticas no son los típicos problemas de aplicación de fórmulas que nos sirven para aprobar, son problemas en los que importa más el razonamiento que el mismo resultado.
¿ Qué características tienen estos problemas ?
1. Requieren de cierta atención
2. Despierta interés en unos más que otros
3. Requiere deliberación, tomas de decisiones, busqueda de estrategias a seguir
4. Suelen tener algun contenido relacionado con matemáticas
5. No se resuelve por procedimientos mecánicos
6. El proceso de resolución puede ser largo y producir cierta angustia , sobre todo cuando se cree el en éxito esta en la solución, realmente el éxito se encuentra en el entendimiento del enunciado y en su proceso de solución
7. Solucionar el problema produce satisfacción proporcional al esferzo empleado
8. También se aprecia satisfacción en generalizar el problema o inventar otros similares
Propone seguir un protocolo:
- Tener una hoja para menejar los cálculos o razonamientos
- Analizar si el problema requiere cálculos
- Utilizaremos fórmulas conocidas o hay q buscarlas
- Conocemos problemas parecidos
- Tendra varias soluciones
- Hay un caso más simple para resolver
- Durante el periodo de resolución escribir los caminos seguidos
- Las herramientas usadas
GEORGE POLYA
Generalizó su método en cuatro pasos
1. Entender el problema
2. Configurar el plan
3. Ejecutar el plan
4. Mirar hacia atrás
Consultar q es: analizar, sintetizar, extrapolar e interpretar
Analizar: capacidad humana q nos permite estudiar un todo cualquiera, en sus diversos componentes, en buca de una síntesis o comprensión.
Sintetizar: extractar lo fundamental de una información y luego integrar lo más importante
Extrapolar: obtener o extraer conclusiones apartir de datos parciales, y aplicar las conclusiones obteniadas de un campo a otro.
Interpretar: explicar el sentido o significado de una cosa.
Los problemas que desarrollan las competencias matemáticas no son los típicos problemas de aplicación de fórmulas que nos sirven para aprobar, son problemas en los que importa más el razonamiento que el mismo resultado.
¿ Qué características tienen estos problemas ?
1. Requieren de cierta atención
2. Despierta interés en unos más que otros
3. Requiere deliberación, tomas de decisiones, busqueda de estrategias a seguir
4. Suelen tener algun contenido relacionado con matemáticas
5. No se resuelve por procedimientos mecánicos
6. El proceso de resolución puede ser largo y producir cierta angustia , sobre todo cuando se cree el en éxito esta en la solución, realmente el éxito se encuentra en el entendimiento del enunciado y en su proceso de solución
7. Solucionar el problema produce satisfacción proporcional al esferzo empleado
8. También se aprecia satisfacción en generalizar el problema o inventar otros similares
Propone seguir un protocolo:
- Tener una hoja para menejar los cálculos o razonamientos
- Analizar si el problema requiere cálculos
- Utilizaremos fórmulas conocidas o hay q buscarlas
- Conocemos problemas parecidos
- Tendra varias soluciones
- Hay un caso más simple para resolver
- Durante el periodo de resolución escribir los caminos seguidos
- Las herramientas usadas
GEORGE POLYA
Generalizó su método en cuatro pasos
1. Entender el problema
2. Configurar el plan
3. Ejecutar el plan
4. Mirar hacia atrás
Consultar q es: analizar, sintetizar, extrapolar e interpretar
Analizar: capacidad humana q nos permite estudiar un todo cualquiera, en sus diversos componentes, en buca de una síntesis o comprensión.
Sintetizar: extractar lo fundamental de una información y luego integrar lo más importante
Extrapolar: obtener o extraer conclusiones apartir de datos parciales, y aplicar las conclusiones obteniadas de un campo a otro.
Interpretar: explicar el sentido o significado de una cosa.
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