miércoles, 2 de junio de 2010
PARÁBOLA
Se llama parábola al lugar geométrico que depende de un punto fijo llamaado foco y una linea recta llamada directriz.
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de parábola y se simboliza con p.
Las parábolas aparecen en diferentes situacions de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe a la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parábolica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal "x" la altura "y" alcanzada por la pelota.
Vértice: punto en que concurren los dos lados de un ángulo.
Es el punto medio entre el foco y la directriz.
Punto de una curva, en el que la curvatura tiene un máximo o un mínimo.
Foco: punto fijo que determina la generación de una parábola.
Directiz: linea recta que determina las condiciones de la generación de una parábola.
El foco se encuentra dentro de la parábola, el vértice en la parábola y la directriz fuera de la parábola.
FUNCIÓN CUADRATICA
Una funcion cuadratica es aquella que puede escribirse de la forma ax^2+bx+c.
Si representamos los puntos de una función cuadratica obtendremos una curva llamada parábola.
VALORES
•El "a" nos muestra hacia donde abre la parábola, si es positiva abre hacia arriba, y si esta es negativa abre hacia abajo.
•El "b" nos dice en que cuadrante de el plano cartesiano queda la parábola.
•El "c" es el desplazamiento de la parábola en en eje y.
•Si el "a" es 0 (cero) da una linea recta horizontal.
•Siempre que sólo dos términos el vértice es "c"
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de parábola y se simboliza con p.
Las parábolas aparecen en diferentes situacions de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe a la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parábolica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal "x" la altura "y" alcanzada por la pelota.
Vértice: punto en que concurren los dos lados de un ángulo.
Es el punto medio entre el foco y la directriz.
Punto de una curva, en el que la curvatura tiene un máximo o un mínimo.
Foco: punto fijo que determina la generación de una parábola.
Directiz: linea recta que determina las condiciones de la generación de una parábola.
El foco se encuentra dentro de la parábola, el vértice en la parábola y la directriz fuera de la parábola.
FUNCIÓN CUADRATICA
Una funcion cuadratica es aquella que puede escribirse de la forma ax^2+bx+c.
Si representamos los puntos de una función cuadratica obtendremos una curva llamada parábola.
VALORES
•El "a" nos muestra hacia donde abre la parábola, si es positiva abre hacia arriba, y si esta es negativa abre hacia abajo.
•El "b" nos dice en que cuadrante de el plano cartesiano queda la parábola.
•El "c" es el desplazamiento de la parábola en en eje y.
•Si el "a" es 0 (cero) da una linea recta horizontal.
•Siempre que sólo dos términos el vértice es "c"
DECRETO 1290 ABRIL 16 DE 2009
La evalucaión debe sustentar cada una de las potencialidades de los estudiantes teniendo en cuenta los aspectos ser, saber y saber hacer y comprometiendose a la participacion de la comunidad educativa (estudiantes, docentes, padres de familia) con el fin de proyectar intereses, propuestas, metas, logros y estrategias.
En la evalucaión los estudiantes deben autoreflexionar y autoevaluarse sobre su aprendizaje, este debe valorar las diferencias q existen en cada uno, sus ritmos, estilos de aprendizaje, habilidades, capacidades individuales y colectivas.
Se evaluara de forma escrita, oral, gráfica, práctica entre otros.
¿ Qué es la calificación ?
Es la valoración cuantitaiva y cualitativa de los procesos de aprendizaje en las competencias cognitivas, procedimentales y actitudinales; el docente evaluara cada indicador con un mínimo de dos técnicas evaluativas dentro de un rango de 0.0 (nota mínima) y 5.0 (nota máxima)
La nota definitiva de cada periodo se obtiene de acuerdo con los siguientes valores: cognitivos 30% , procedimental 40% y actitudinal 30% dando como resultado la siguiente escala valorativa :
4.6 a 5.0 desempeño superior
4.0 a 4.5 desempeño alto
2.7 a 3.9 desempeño básico
0.0 a 2.6 desempeño bajo
En la evalucaión los estudiantes deben autoreflexionar y autoevaluarse sobre su aprendizaje, este debe valorar las diferencias q existen en cada uno, sus ritmos, estilos de aprendizaje, habilidades, capacidades individuales y colectivas.
Se evaluara de forma escrita, oral, gráfica, práctica entre otros.
¿ Qué es la calificación ?
Es la valoración cuantitaiva y cualitativa de los procesos de aprendizaje en las competencias cognitivas, procedimentales y actitudinales; el docente evaluara cada indicador con un mínimo de dos técnicas evaluativas dentro de un rango de 0.0 (nota mínima) y 5.0 (nota máxima)
La nota definitiva de cada periodo se obtiene de acuerdo con los siguientes valores: cognitivos 30% , procedimental 40% y actitudinal 30% dando como resultado la siguiente escala valorativa :
4.6 a 5.0 desempeño superior
4.0 a 4.5 desempeño alto
2.7 a 3.9 desempeño básico
0.0 a 2.6 desempeño bajo
miércoles, 17 de marzo de 2010
VALOR ABSOLUTO
PROPIEDADES.
como observaremos a continuación, en todas las propiedades del valor absoluto, este siempre tendrá un valor mayor que él y otro menor.
= -b < a < b
En esta propiedad, (a) equivale a cualquier valor mayor que (–b) y menor que (b).
Ej: x - 3 < 7
= -7 < x – 3 < 7
Ej 2: x2 + 7x + 12 < 15
= -15 < x2 + 7x +12 < 15.
= -b ≤ a ≤ b
Esta propiedad tiene las mismas características de la propiedad anterior, solo que en este caso, (a) debe ser un valor mayor o igual a (-b) y menor o igual a (b).
Ej: x2 + 36 ≤ 18
= -18 ≤ x2 + 36 ≤ 18
Ej 2: x2 – 5x -2 ≤ 9
= -9 ≤ x2 – 5x -2 ≤ 9.
=b > a > -b.
En esta propiedad, (a) debe ser un valor menor que (b) y mayor que (-b). Según esto podemos inferir que la primera propiedad y esta tienen las mismas características, salvo que en este caso enunciamos el resultado invirtiendo el orden de los términos. Entonces:
(-b <> a > -b).
Ej: x2 - 4 > 7
= 7 > x2 – 4 > -7
Ej 2: a2 – 7a - 40 > 12
= 12 > a2 – 7a – 40 > - 12
= b ≥ a ≥ -b
En esta propiedad, (a) equivale a cualquier valor menor o igual que (b) y mayor o igual que (-b). según esto podemos inferir nuevamente que la segunda propiedad y esta son iguales, salvo que esta enuncia su resultado con sus términos invertidos. Entonces:
(-b ≤ a ≤ b) = (b ≥ a ≥ -b)
Ej: x2 - 9 ≥5
= 5 ≥ x2 – 9 ≥ - 5
Ej 2: x2 + 13 - 10 ≥ 16
= 16 ≥ x2 +13 -10 ≥ -16
como observaremos a continuación, en todas las propiedades del valor absoluto, este siempre tendrá un valor mayor que él y otro menor.
= -b < a < b
En esta propiedad, (a) equivale a cualquier valor mayor que (–b) y menor que (b).
Ej: x - 3 < 7
= -7 < x – 3 < 7
Ej 2: x2 + 7x + 12 < 15
= -15 < x2 + 7x +12 < 15.
= -b ≤ a ≤ b
Esta propiedad tiene las mismas características de la propiedad anterior, solo que en este caso, (a) debe ser un valor mayor o igual a (-b) y menor o igual a (b).
Ej: x2 + 36 ≤ 18
= -18 ≤ x2 + 36 ≤ 18
Ej 2: x2 – 5x -2 ≤ 9
= -9 ≤ x2 – 5x -2 ≤ 9.
=b > a > -b.
En esta propiedad, (a) debe ser un valor menor que (b) y mayor que (-b). Según esto podemos inferir que la primera propiedad y esta tienen las mismas características, salvo que en este caso enunciamos el resultado invirtiendo el orden de los términos. Entonces:
(-b <> a > -b).
Ej: x2 - 4 > 7
= 7 > x2 – 4 > -7
Ej 2: a2 – 7a - 40 > 12
= 12 > a2 – 7a – 40 > - 12
= b ≥ a ≥ -b
En esta propiedad, (a) equivale a cualquier valor menor o igual que (b) y mayor o igual que (-b). según esto podemos inferir nuevamente que la segunda propiedad y esta son iguales, salvo que esta enuncia su resultado con sus términos invertidos. Entonces:
(-b ≤ a ≤ b) = (b ≥ a ≥ -b)
Ej: x2 - 9 ≥5
= 5 ≥ x2 – 9 ≥ - 5
Ej 2: x2 + 13 - 10 ≥ 16
= 16 ≥ x2 +13 -10 ≥ -16
domingo, 7 de marzo de 2010
EJERCICIOS DE REEMPLAZO PARA EL 8 DE MARZO
1. 10-5x/2>=0
20-5x/2 >=
20/2 >= 5x/2
20(2)/2 >=5x
20/5>=x
4>=x
Intervalo: [4, inf)
4. (x-1)(x+2)<(x+1)(x-3)
x^2+2x-x-2 < x^2-3x+x-3
x^2+x-2 < x^2-2x-3
x-2+2x+3<0
3x+1<0
3x<1
x<-1/3
x<-0,3
Intervalo: (-inf, -0,3)
17. 1/x-x/2x-1 >=1
2x-1-(x)(x)/(x)(2x-1) >=1
2x-1-x^2/2x^2-1x >=1
2x-1-x^2 >= 2x^2-1x
2x-1-x^2-2x^2-1X >=0
2x-3x^2-1x-1 >= 0
x-3x^2-1 >= 0
3x^2+x-1 >=0
a b c
x= -1+- raiz de 1^2-4(-3)(-1)
-1+- raiz de 1-12/-6
-1+- raiz de -11/-6
NO TIENE SOLUCIÒN
20. 2-x/x-3<=-2/x
x(2-x) <=-2(x-3)
2x-x^2<=-2x+6
2x-x^2+2x-6<=0
-x^2+4x-6<=0
0<=x^2-4x+6
x= -4+-raiz de 4^2-4(1)(6)/2(1)
-4+- raiz de 16+24/2
-4+- raiz de 40/2
-4+- 6,3/2
1. -4+6,3/2
2,3/2
1,15
2. -4-6,3/2
-10,3/2
-5,15
Intervalos: (-inf, -5,15] u [1,15 , inf)
21. 2x/1-2x <=3-x/x
(2x)(x) <=(1-2x)(3-x)
2x^2 <= 3-x-6x+2x^2
0<=3-x-6x
0<=3-7x
-3<=-7x
-3/-7<=x
0,4<=x
Intervalo: [0,4 , inf)
22. x^3/x^2+3x-4 >=x
x^3 >=(x^2+3x-4)(x)
x^3 >=x^3+3x^2-4x
0>=3x^2-4x
x= -4+- raiz de 4^2-4(3)(0)/2(3)
-4+- raiz de 16-0/6
-4+- raiz de 16/6
1. -4+4/6
0
2. -4-4/6
8/6
-1,3
Intervalo: [-1,3 , 0]
26. -2/3+x >=x/4-x
(-2)(4-x) >= (x)(3+x)
-8+2x >= 3x+x^2
0>=3x+x^2+8-2x
0>=x+x^2+8
0>=x^2+x+8
x= -1+- raiz de 1^2-4(1)(8)/2(1)
-1+- raiz de 1-32/2
-1+- raiz de -31/2
NO TIENE SOLUCIÓN
27. x/x-1 >= 5/4+2x
(x)(4+2x) >= (5)(x-1)
4x+2x^2 >= 5x-5
4x+2x^2-5x+5>=0
x+2x^2+5>=0
2x^2+x+5 >=0
x= -1+- raiz de 1^2-4(2)(5)/2(2)
-1+- raiz de 1-40/4
-1+- raiz de -39/4
NO TIENE SOLUCIÓN
29. x-2/x+2 < 1+x/x-1
(x-2)(x-1)<(1+x)(x+2)
x^2+x-2x+2
-3x<0
-x-3x<0
-4x<0
x<1/-4
x<-0,25
Intervalo: (-inf , -0,25)
33. 3+x <= x^2-1/x-1
(3+x)(x-1)<=(x^2-1)
3x-3+x^2-x<= x^2-1
2x-3+x^2<= x^2-1
2x-3+1<=0
2x-2<=0
2x<=2
x<=2/2
x<=1
Intervalo: (-inf , 1]
20-5x/2 >=
20/2 >= 5x/2
20(2)/2 >=5x
20/5>=x
4>=x
Intervalo: [4, inf)
4. (x-1)(x+2)<(x+1)(x-3)
x^2+2x-x-2 < x^2-3x+x-3
x^2+x-2 < x^2-2x-3
x-2+2x+3<0
3x+1<0
3x<1
x<-1/3
x<-0,3
Intervalo: (-inf, -0,3)
17. 1/x-x/2x-1 >=1
2x-1-(x)(x)/(x)(2x-1) >=1
2x-1-x^2/2x^2-1x >=1
2x-1-x^2 >= 2x^2-1x
2x-1-x^2-2x^2-1X >=0
2x-3x^2-1x-1 >= 0
x-3x^2-1 >= 0
3x^2+x-1 >=0
a b c
x= -1+- raiz de 1^2-4(-3)(-1)
-1+- raiz de 1-12/-6
-1+- raiz de -11/-6
NO TIENE SOLUCIÒN
20. 2-x/x-3<=-2/x
x(2-x) <=-2(x-3)
2x-x^2<=-2x+6
2x-x^2+2x-6<=0
-x^2+4x-6<=0
0<=x^2-4x+6
x= -4+-raiz de 4^2-4(1)(6)/2(1)
-4+- raiz de 16+24/2
-4+- raiz de 40/2
-4+- 6,3/2
1. -4+6,3/2
2,3/2
1,15
2. -4-6,3/2
-10,3/2
-5,15
Intervalos: (-inf, -5,15] u [1,15 , inf)
21. 2x/1-2x <=3-x/x
(2x)(x) <=(1-2x)(3-x)
2x^2 <= 3-x-6x+2x^2
0<=3-x-6x
0<=3-7x
-3<=-7x
-3/-7<=x
0,4<=x
Intervalo: [0,4 , inf)
22. x^3/x^2+3x-4 >=x
x^3 >=(x^2+3x-4)(x)
x^3 >=x^3+3x^2-4x
0>=3x^2-4x
x= -4+- raiz de 4^2-4(3)(0)/2(3)
-4+- raiz de 16-0/6
-4+- raiz de 16/6
1. -4+4/6
0
2. -4-4/6
8/6
-1,3
Intervalo: [-1,3 , 0]
26. -2/3+x >=x/4-x
(-2)(4-x) >= (x)(3+x)
-8+2x >= 3x+x^2
0>=3x+x^2+8-2x
0>=x+x^2+8
0>=x^2+x+8
x= -1+- raiz de 1^2-4(1)(8)/2(1)
-1+- raiz de 1-32/2
-1+- raiz de -31/2
NO TIENE SOLUCIÓN
27. x/x-1 >= 5/4+2x
(x)(4+2x) >= (5)(x-1)
4x+2x^2 >= 5x-5
4x+2x^2-5x+5>=0
x+2x^2+5>=0
2x^2+x+5 >=0
x= -1+- raiz de 1^2-4(2)(5)/2(2)
-1+- raiz de 1-40/4
-1+- raiz de -39/4
NO TIENE SOLUCIÓN
29. x-2/x+2 < 1+x/x-1
(x-2)(x-1)<(1+x)(x+2)
x^2+x-2x+2
-3x<0
-x-3x<0
-4x<0
x<1/-4
x<-0,25
Intervalo: (-inf , -0,25)
33. 3+x <= x^2-1/x-1
(3+x)(x-1)<=(x^2-1)
3x-3+x^2-x<= x^2-1
2x-3+x^2<= x^2-1
2x-3+1<=0
2x-2<=0
2x<=2
x<=2/2
x<=1
Intervalo: (-inf , 1]
DESIGUALDADES
En matemáticas una desigualdad se refiere a la relacion de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones.
En la desigualdad los términos esta relacionados por un símbolo de mayor que(>), menor que (<), y otros dos derivados de estos dos símbolos, mayor o igual que (>=) y menor e igual que (<=).
Pasos para resolver una desigualdad:
*Identificar la variable
*Analizar si la desigualdad es mayor, menor, maro igual o menor igual.
*Separar los términos que posean las variables*
Luego de encontrar el valor de la incognita, comprobar
*Graficar
*Sacar el intervalo
Ejemplo:
*8x+5/10x-7 >=4x-3/5x+7
(8x+5)(5x+7) >= (10x-7)(4x-3)
40x^2+56x+25x+35 >= 40x^2-30x-28x+24
81x+35>=-58x+21
81x+58x>=21-35
139>=-14
x>=-14/139
x>=-0,10
Intervalo: [-0,10 ,inf)
*8x-(2x+1)<=3x-10
8x-2x-1<=3x-10
8x-2x-3x<=-10+1
8x-5x<=-9
3x<=-9
x<=-9/3
x<=-3
Intervalo: (-inf, -3]
DESIGUALDADES CUADRATICAS
x^2+7x+12>0 Restriccion: x<>0
Caracteristicas de las restricciones
1. Que no sea cero
2. Se separan por parejas, se hacen de manera individual cada término, teniendo en cuanta el signo
Factorizar: (x+3)(x+4)
Pareja 1: (x+3)>0
(x+4)>0
Pareja 2: (x+3)<0
(x+4)<0
Ejemplo:
x^2-5x+6>0 Restriccion: x<>2 , x<>3, x<>0
Pareja 1: (x-2)>0
(x-3)>0
Pareja 2: (x-2)<0
(x-3)<0
DESIGUALDADES CUADRATICAS
9x^2<25
9x^2-25<0
(3x+5)(3x-5)<0
1. 3x+5<0
x<5/3
x<1,6
2. 3x-5<0
x<-5/3
x<-1,6
DISCRIMINANTES
Se utiliza la formula b^2-4ac
Si la discriminante es mayor que cero encontraremos 2 soluciones
Si la discriminante es igual a cero, tiene una solucion
Si la discriminante en menor que cero. no tiene solucion.
Ejemplo: (x+5)^2 <= (x+4)^2+(x-3)^2
(x+5)^2-(x+4)^2-(x-3)^2<=0
(x^2+10x+25)-(x^2+8x+16)-(x^2-6x+9)<=0
10x+25-8x-16-x^2+6x-9<=0
8x-x^2<=0
Formula: -b+- raiz de b^2-4ac/2a
-8+- raiz de 8^2-4(-1)(0)
-8+- raiz de 64/-2
-8+-8/-2
x1: -8+8/-2
x1: 0
x2:-8-8/-2
x2: 8
Intervalos: (-inf, 0] u [8, inf)
En la desigualdad los términos esta relacionados por un símbolo de mayor que(>), menor que (<), y otros dos derivados de estos dos símbolos, mayor o igual que (>=) y menor e igual que (<=).
Pasos para resolver una desigualdad:
*Identificar la variable
*Analizar si la desigualdad es mayor, menor, maro igual o menor igual.
*Separar los términos que posean las variables*
Luego de encontrar el valor de la incognita, comprobar
*Graficar
*Sacar el intervalo
Ejemplo:
*8x+5/10x-7 >=4x-3/5x+7
(8x+5)(5x+7) >= (10x-7)(4x-3)
40x^2+56x+25x+35 >= 40x^2-30x-28x+24
81x+35>=-58x+21
81x+58x>=21-35
139>=-14
x>=-14/139
x>=-0,10
Intervalo: [-0,10 ,inf)
*8x-(2x+1)<=3x-10
8x-2x-1<=3x-10
8x-2x-3x<=-10+1
8x-5x<=-9
3x<=-9
x<=-9/3
x<=-3
Intervalo: (-inf, -3]
DESIGUALDADES CUADRATICAS
x^2+7x+12>0 Restriccion: x<>0
Caracteristicas de las restricciones
1. Que no sea cero
2. Se separan por parejas, se hacen de manera individual cada término, teniendo en cuanta el signo
Factorizar: (x+3)(x+4)
Pareja 1: (x+3)>0
(x+4)>0
Pareja 2: (x+3)<0
(x+4)<0
Ejemplo:
x^2-5x+6>0 Restriccion: x<>2 , x<>3, x<>0
Pareja 1: (x-2)>0
(x-3)>0
Pareja 2: (x-2)<0
(x-3)<0
DESIGUALDADES CUADRATICAS
9x^2<25
9x^2-25<0
(3x+5)(3x-5)<0
1. 3x+5<0
x<5/3
x<1,6
2. 3x-5<0
x<-5/3
x<-1,6
DISCRIMINANTES
Se utiliza la formula b^2-4ac
Si la discriminante es mayor que cero encontraremos 2 soluciones
Si la discriminante es igual a cero, tiene una solucion
Si la discriminante en menor que cero. no tiene solucion.
Ejemplo: (x+5)^2 <= (x+4)^2+(x-3)^2
(x+5)^2-(x+4)^2-(x-3)^2<=0
(x^2+10x+25)-(x^2+8x+16)-(x^2-6x+9)<=0
10x+25-8x-16-x^2+6x-9<=0
8x-x^2<=0
Formula: -b+- raiz de b^2-4ac/2a
-8+- raiz de 8^2-4(-1)(0)
-8+- raiz de 64/-2
-8+-8/-2
x1: -8+8/-2
x1: 0
x2:-8-8/-2
x2: 8
Intervalos: (-inf, 0] u [8, inf)
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