VALOR ABSOLUTO

PROPIEDADES.

como observaremos a continuación, en todas las propiedades del valor absoluto, este siempre tendrá un valor mayor que él y otro menor.

= -b < a < b

En esta propiedad, (a) equivale a cualquier valor mayor que (–b) y menor que (b).

Ej: x - 3 < 7
= -7 < x – 3 < 7
Ej 2: x2 + 7x + 12 < 15
= -15 < x2 + 7x +12 < 15.


= -b ≤ a ≤ b

Esta propiedad tiene las mismas características de la propiedad anterior, solo que en este caso, (a) debe ser un valor mayor o igual a (-b) y menor o igual a (b).

Ej: x2 + 36 ≤ 18
= -18 ≤ x2 + 36 ≤ 18
Ej 2: x2 – 5x -2 ≤ 9
= -9 ≤ x2 – 5x -2 ≤ 9.

=b > a > -b.

En esta propiedad, (a) debe ser un valor menor que (b) y mayor que (-b). Según esto podemos inferir que la primera propiedad y esta tienen las mismas características, salvo que en este caso enunciamos el resultado invirtiendo el orden de los términos. Entonces:

(-b <> a > -b).

Ej: x2 - 4 > 7
= 7 > x2 – 4 > -7
Ej 2: a2 – 7a - 40 > 12
= 12 > a2 – 7a – 40 > - 12

= b ≥ a ≥ -b

En esta propiedad, (a) equivale a cualquier valor menor o igual que (b) y mayor o igual que (-b). según esto podemos inferir nuevamente que la segunda propiedad y esta son iguales, salvo que esta enuncia su resultado con sus términos invertidos. Entonces:

(-b ≤ a ≤ b) = (b ≥ a ≥ -b)


Ej: x2 - 9 ≥5
= 5 ≥ x2 – 9 ≥ - 5
Ej 2: x2 + 13 - 10 ≥ 16
= 16 ≥ x2 +13 -10 ≥ -16

EJERCICIOS DE REEMPLAZO PARA EL 8 DE MARZO

1. 10-5x/2>=0
20-5x/2 >=
20/2 >= 5x/2
20(2)/2 >=5x
20/5>=x
4>=x
Intervalo: [4, inf)

4. (x-1)(x+2)<(x+1)(x-3)
x^2+2x-x-2 < x^2-3x+x-3
x^2+x-2 < x^2-2x-3
x-2+2x+3<0
3x+1<0
3x<1
x<-1/3
x<-0,3
Intervalo: (-inf, -0,3)

17. 1/x-x/2x-1 >=1
2x-1-(x)(x)/(x)(2x-1) >=1
2x-1-x^2/2x^2-1x >=1
2x-1-x^2 >= 2x^2-1x
2x-1-x^2-2x^2-1X >=0
2x-3x^2-1x-1 >= 0
x-3x^2-1 >= 0
3x^2+x-1 >=0
a b c

x= -1+- raiz de 1^2-4(-3)(-1)
-1+- raiz de 1-12/-6
-1+- raiz de -11/-6

NO TIENE SOLUCIÒN

20. 2-x/x-3<=-2/x
x(2-x) <=-2(x-3)
2x-x^2<=-2x+6
2x-x^2+2x-6<=0
-x^2+4x-6<=0
0<=x^2-4x+6

x= -4+-raiz de 4^2-4(1)(6)/2(1)
-4+- raiz de 16+24/2
-4+- raiz de 40/2
-4+- 6,3/2

1. -4+6,3/2
2,3/2
1,15
2. -4-6,3/2
-10,3/2
-5,15
Intervalos: (-inf, -5,15] u [1,15 , inf)

21. 2x/1-2x <=3-x/x
(2x)(x) <=(1-2x)(3-x)
2x^2 <= 3-x-6x+2x^2
0<=3-x-6x
0<=3-7x
-3<=-7x
-3/-7<=x
0,4<=x
Intervalo: [0,4 , inf)

22. x^3/x^2+3x-4 >=x
x^3 >=(x^2+3x-4)(x)
x^3 >=x^3+3x^2-4x
0>=3x^2-4x

x= -4+- raiz de 4^2-4(3)(0)/2(3)
-4+- raiz de 16-0/6
-4+- raiz de 16/6

1. -4+4/6
0
2. -4-4/6
8/6
-1,3
Intervalo: [-1,3 , 0]

26. -2/3+x >=x/4-x
(-2)(4-x) >= (x)(3+x)
-8+2x >= 3x+x^2
0>=3x+x^2+8-2x
0>=x+x^2+8
0>=x^2+x+8

x= -1+- raiz de 1^2-4(1)(8)/2(1)
-1+- raiz de 1-32/2
-1+- raiz de -31/2
NO TIENE SOLUCIÓN

27. x/x-1 >= 5/4+2x
(x)(4+2x) >= (5)(x-1)
4x+2x^2 >= 5x-5
4x+2x^2-5x+5>=0
x+2x^2+5>=0
2x^2+x+5 >=0
x= -1+- raiz de 1^2-4(2)(5)/2(2)
-1+- raiz de 1-40/4
-1+- raiz de -39/4
NO TIENE SOLUCIÓN

29. x-2/x+2 < 1+x/x-1
(x-2)(x-1)<(1+x)(x+2)
x^2+x-2x+2 x^2-x+2<3x+2+x^2
-3x<0
-x-3x<0
-4x<0
x<1/-4
x<-0,25
Intervalo: (-inf , -0,25)

33. 3+x <= x^2-1/x-1
(3+x)(x-1)<=(x^2-1)
3x-3+x^2-x<= x^2-1
2x-3+x^2<= x^2-1
2x-3+1<=0
2x-2<=0
2x<=2
x<=2/2
x<=1
Intervalo: (-inf , 1]

DESIGUALDADES

En matemáticas una desigualdad se refiere a la relacion de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones.
En la desigualdad los términos esta relacionados por un símbolo de mayor que(>), menor que (<), y otros dos derivados de estos dos símbolos, mayor o igual que (>=) y menor e igual que (<=).

Pasos para resolver una desigualdad:
*Identificar la variable
*Analizar si la desigualdad es mayor, menor, maro igual o menor igual.
*Separar los términos que posean las variables*
Luego de encontrar el valor de la incognita, comprobar
*Graficar
*Sacar el intervalo

Ejemplo:
*8x+5/10x-7 >=4x-3/5x+7
(8x+5)(5x+7) >= (10x-7)(4x-3)
40x^2+56x+25x+35 >= 40x^2-30x-28x+24
81x+35>=-58x+21
81x+58x>=21-35
139>=-14
x>=-14/139
x>=-0,10

Intervalo: [-0,10 ,inf)

*8x-(2x+1)<=3x-10
8x-2x-1<=3x-10
8x-2x-3x<=-10+1
8x-5x<=-9
3x<=-9
x<=-9/3
x<=-3

Intervalo: (-inf, -3]

DESIGUALDADES CUADRATICAS
x^2+7x+12>0 Restriccion: x<>0

Caracteristicas de las restricciones
1. Que no sea cero
2. Se separan por parejas, se hacen de manera individual cada término, teniendo en cuanta el signo

Factorizar: (x+3)(x+4)
Pareja 1: (x+3)>0
(x+4)>0
Pareja 2: (x+3)<0
(x+4)<0

Ejemplo:
x^2-5x+6>0 Restriccion: x<>2 , x<>3, x<>0

Pareja 1: (x-2)>0
(x-3)>0
Pareja 2: (x-2)<0
(x-3)<0

DESIGUALDADES CUADRATICAS

9x^2<25
9x^2-25<0
(3x+5)(3x-5)<0

1. 3x+5<0
x<5/3
x<1,6
2. 3x-5<0
x<-5/3
x<-1,6

DISCRIMINANTES
Se utiliza la formula b^2-4ac
Si la discriminante es mayor que cero encontraremos 2 soluciones
Si la discriminante es igual a cero, tiene una solucion
Si la discriminante en menor que cero. no tiene solucion.

Ejemplo: (x+5)^2 <= (x+4)^2+(x-3)^2
(x+5)^2-(x+4)^2-(x-3)^2<=0
(x^2+10x+25)-(x^2+8x+16)-(x^2-6x+9)<=0
10x+25-8x-16-x^2+6x-9<=0

8x-x^2<=0

Formula: -b+- raiz de b^2-4ac/2a
-8+- raiz de 8^2-4(-1)(0)
-8+- raiz de 64/-2
-8+-8/-2

x1: -8+8/-2
x1: 0

x2:-8-8/-2
x2: 8

Intervalos: (-inf, 0] u [8, inf)

INECUACIONES

ALGEBRA

El álgebra es una rama de las matemáticas que estudia la forma de resolverlas ecuaciones; las estructuras, las relaciones y las cantidades.

Ejercicio:
-13x-7 = 3x+233
-13x-3x=233+7
-16x = 240
x= 240/-16
x=-15

Prueba:
-13(-15)-7 = 3(-15)+233
195-7 = -45+233
188= 188

Ejercicos vistos en clase:
*Halle un número cuya mitad, tercera y cuarta sumen 39

Sea x el #

x/2 + x/3 + x/4= 39

6x+4x+3x/12 = 39

13x = 39 (12)
x = 36

Prueba:
39/2+36/3+36/4 = 39

18+12+9 = 39

*En una granja hay conejos y gallinas, contandose en total 39 cabezas y 126 patas ¿cuantos animales hay de cada uno?

Sea y gallinas
Sea x conejos

1. x+y= 39 cabezas
2y+4x=126

2. 2y+4 (39-y) =126
2y+156-4y=126
-2y=126-156
y=-30/-2
y=15

3. x=39-15
x=24