DERIVADAS

El estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.
El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.

La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.

La derivada de una función en un punto “a” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.

. Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos



APLICACIONES DE DERIVADAS


•Derivadas En Medicina
Las derivadas en la medicina se pueden implementar a la hora de estudiar las funciones cardiovasculares de presión y velocidad de la sangre, o el estudio de la variabilidad de la presión arterial.
En efecto, una marcada tendencia actual en el estudio del estado o condición
cardiovascular de los pacientes, es la observación de las formas de las ondas de
presión arterial (p(t)) y su análisis mediante métodos matemáticos. El cálculo más
utilizado es la obtención de la derivada (dp/dt) máxima.


•Derivadas en la económia
Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la varible dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.
De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.

En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Meduiante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadas parciales respecto a x o y, manteniendo la otra fija. En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, difrenciales, etc.


•Derivadas en la biologia
En el ámbito de la Biología, se puede hablar de la velocidad de crecimiento de un cultivo de bacterias. Si, por ejemplo, tenemos que N(t) = 7t^2-t describe el crecimiento del mencionado cultivo de bacterias. Si queremos hallar la velocidad a la que crecen, entonces, debemos calcular la derivada N(t), la cual sería: N'(t) = 14t-1.

•Derivadas en la física
Para conocer la velocidad instantanea de un objeto movil. Si consideramos s(t) = 2t+t^2 como el espacio recorrido dependiendo del tiempo, entonces, la velocidad instantanea sería la variación del espacio en el tiempo, esto es, la derivada de s(t) respecto de t, s'(t), lo cual es:
v(t)= s'(t)= 2+2t;
Y si queremos saber el valor de v en t = 3 (en un instante determinado9, sería:

v(3)=s'(3)=2+2*3 =8 m/s.

Calcular la velocidad de un objeto cuando cae a través de una rampa con un determinado ángulo de inclinación.

para resolver casi TODOS los problemas de la fisica, ya que estos se modelizan con ecuaciones que en su mayoria son diferenciales. Las ondas electromagneticas, el calor, el movimiento, etc. se rigen por leyes que se pueden modelizar con estas ecuaciones, no hablemos de lo mas elemental como hallar la recta tangente a una curva, la ecuacion de la cinematica o hallar un area que son las primeras aplicaciones que vemos.En la modernidad todos los sistemas de simulacion resuelven cientos de miles de ecuaciones diferenciales, y todos los metodos computacionales usan metodos numericos que resuelven cientos de miles de integrales.



•Derivadas en la ingenieria química
En Ingeniería Química/Química/Farmacia.... tenemos el ejemplo de las distintas velocidades a las que las distintas soluciones que traspasan de una recipiente a otro.


•Derivadas en construcciones
, tratan de hallar las dimensiones de un terreno u objeto de una determinada forma geometrica (cuadrado, rectangular, circunferencia, ..) para que el gasto de material empleado para construir el objeto sea mínimo o para que el área del objeto/terreno.. sea el máximo...
Es útil en la construcción de contenedores.
En minimizar y maximizar formulas que nos ayuda a calcular las realizar de un objeto construido.
Sirve para comprender problemas muy complejos, ej.: resistencia de materiales.

EJEMPLO DE LA CIRCUNFERENCIA

•Si el centro es (0,0) la ecuacion es : (x-0)^2 + (y-0)^2 r^2
x^2 + y^2 = r^2

• Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro (-3,2) y radio 6
h= -3 k= 2 y r=6

(x-(-3))^2 + (y-2)^2 = 6^2
(x+3)^2+ (y-2)^2 = 36


•Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro (4,-3) y radio 8
h= 4 k=-3 y r=8

(x-4)^2+(y-(-3))^2 = 8^2
(x-4)^2+ (y+3)= 64

CIRCUNFERENCIA

Cuando un conjunto de puntos satisface una o más propiedades geométricas, dicho conjunto se denomina lugar geométrico.

• Mediatriz: es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los extremos de un segmento.

•Bisectriz: de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los lados del ángulo.

•Circunferencia: es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro. La distancia común se llama radio.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

para dibujar una circunferencia sólo necesitamos conocer el centro y el radio. Para la ecuación las coordenadas del plano y la medida del radio.

c=(h,k) = centro

EJEMPLO

Realizado con foco

F=(6,3)

x^2 = 4py = (6)^2 = 4p (3)
=36 = 12 p
= 36/12 = p
3 = p

F= ( 6,3)
V=(6,0)
D=(6,-3)

EJEMPLOS DE GRÁFICAS

EJEMPLOS DE GRAFICAS

EJERCICIOS FUNCION CUADRATICA

1. y=x^2+2

D=b^2-4ac = 0^2-4(1)(2)
=0-8
=-8

Vx= -b/2a = -0/2 = o


2. y=(x-2)^2 = x^2-4x+4

D=b^2-4ac = 4^2-4(1)(4)
=16-16
=0

-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -(-4) +- raiz de 0/2 = 4/2 = 2

Vx= -b/2a= -(-4)/2 = 4/2= 2

Vy= 2^2-4(2)+4 = 4-8+4 = 0


3. y=2x^2

D= b^2-4ac = 0^2-4(2)(0)
=0^2-0 =0

-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -0+ raiz de 0/4 = -0/4 = 0

Vx= -b/2a = -0/4 = 0

Vy= 2(0)^2 = 0


4. y= x^2+2

D=b^2-4ac = 0^2-4(-1)(2)
=0^2-(-8)=8

-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -0+- raiz de 8/2 = -0+2,82/-2 = -1,41
=-0-2,82/-2 = 1,41

Vx= -b/2a= -0/-2 = 0

5. y=-(x+2) = -x^2-4x-4

D=b^2-4ac = -4^2-4(-1)(-4) = 16-16 = 0

-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -(-4)+- raiz de 0/-2 = 4/-2 = -2

Vx= -b/2a = -(-4)/-2 = 4/-2 =-2

Vy= -(-2)^2-4(-2)-4 = -4-(-8)-4=0

6. y=x^2+4

D= b^2-4ac = 0^2-4(1)(4)
=0^2-16
= -16

Vx= -b/2a = -0/2 = 0

7. y=x^2-1

D= b^2-4ac = 0^2-4(1)(-1)
=0-(-4)
= 4

-b+- raiz de b^2-4ac/2a = -0+- raiz de 4/2 = -0+2/2 = 2/2 = 1
= -0-2/-2= -2/2 = -1

Vx= -b/2a = -0/2 = 0